Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitágoras y números irracionales

Es interesante observar que el Teorema de Pitágoras ayuda a localizar los números irracionales en una recta numérica. Considera un número x que es un número racional pero no un cuadrado perfecto. Esto significa que la raíz cuadrada de x debe ser un número irracional, es decir, un número decimal no terminal y no repetitivo. Ahora, nuestro interés es dónde se encuentra esto en la secuencia de números. Así, consideremos un triángulo rectángulo con base (x-1)/2 e hipotenusa (x+1)/2. ¿Cuál es la altura de este triángulo rectángulo, es decir, el otro brazo del triángulo rectángulo? Digamos que y. Según el teorema de Pitágoras, sabemos que la suma de los cuadrados de los brazos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Así, para el triángulo que acabamos de considerar, podemos escribir

[(x - 1)/2]^2 + y^2 = [(x + 1)/2]^2

O y^2 = [(x + 1)/2]^2 - [(x - 1)/2]^2

= [(x^2 + 2x + 1) / 4] - [(x^2 - 2x + 1) / 4]

= [(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)] / 4

= [x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1)] / 4

= 4x / 4

= x

es decir, y^2 = x â¹ y = √x

Esto es exactamente lo que estábamos buscando, la raíz cuadrada de x, que es irracional. Ahora, la longitud del tercer brazo de nuestro triángulo se puede marcar en la recta numérica utilizando un compás.

Entonces, si queremos encontrar la magnitud de √x, hacemos lo siguiente. Marque el punto A, luego marque el B para que AB = x unidades; marque el C para que BC = 1 unidad; marque el B para que C = 1 unidad; marque el C para que C = 1 unidad. Es decir, AC = x + 1. Biseca AC. marca D como punto de bisección de AC, AD = DC = (x + 1)/2. Ahora cuál es la longitud de DB: DC = (x+1)/2, BC = 1, por lo que DB = DC - BC = [(x+1)/2] - 1.

Ahora construyamos un triángulo: trazamos una línea perpendicular a AC en B y desde D, la intersecamos con una línea perpendicular en E de forma que DE = AD. Ahora tenemos un triángulo rectángulo con base (x-1)/2 e hipotenusa (x+1)/2. ¿Puedes ver cuáles serían las dimensiones de BE? Por supuesto, será √x, como se muestra arriba. Puedes trasladar la longitud de esta BE a una recta numérica utilizando un compás.

Intenta representar √5, √7, √11, √6,8 y √9,5 en una recta numérica. Cada uno de ellos debería llevar casi dos minutos.

Las matemáticas pueden ser divertidas. Es emocionante ver cómo la aritmética, el álgebra y la geometría acaban convergiendo a medida que se explora.

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